Objet initial, Objet final, Objet nul

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1. Objet initial, Objet final, Objet nul

13-objet-initial-final-nul : Donnons-nous une catégorie \mathcal{C}. Un objet I de \mathcal{C} est dit initial si pour tout objet E de \mathcal{C}, il existe une et une seule flèche de I vers E. De même, un objet F est dit final si pour tout objet E, il existe une et une seule flèche de E vers F. En particulier la seule flèche d'un objet initial (ou final) vers lui-même est l'identité. L'intérêt de cette définition est la propriété suivante : Deux objets initiaux (respectivement finals) dans une catégorie sont isomorphes, et l'isomorphisme entre les deux est unique (on dit qu'ils sont canoniquement isomorphes). Autrement-dit, si I et J sont tous deux initiaux dans \mathcal{C}, l'unique flèche f de I vers J est un isomorphisme. En effet, comme J est initial, il existe de même une unique flèche g de J vers I, et le composé g\circ f ne peut être que la flèche identité de I, toujours parce que I est initial. Pour la même raison, f\circ g ne peut être que l'identité de J.

2. Morphisme nul

14-morphisme-nul : Quand un objet mathématique est défini de cette façon, on dit qu'il est défini par un problème universel. Plus rigoureusement, étant donné un problème de construction (par exemple la recherche du plus petit groupe « contenant » deux groupes donnés), on le transforme pour définir une catégorie dans laquelle les solutions du problème sont des objets initiaux, tous canoniquement isomorphes par hypothèse (dans cet exemple, il s'agit de la catégorie des groupes dans lesquels les deux groupes donnés s'injectent, et la solution est le produit libre des deux groupes). Un objet nul est un objet à la fois initial et final.

15-exemple-de-morphisme-nul : Une catégorie abélienne est une catégorie dans laquelle on peut additionner les flèches et définir pour toute flèche les notions de noyau, conoyau et image. Plus précisément, une catégorie abélienne est une catégorie \mathfrak{A} vérifiant les axiomes suivants : pour tous les objets X et Y dans \mathfrak{A}, \mathrm{Hom}(X,Y) est muni d'une structure de groupe abélien ; pour tous les objets X, Y et Z, la composition \mathrm{Hom}(Y,Z)\times \mathrm{Hom}(X,Y)\rightarrow \mathrm{Hom}(X,Z) est bilinéaire

 

Younes Derfoufi
CRMEF OUJDA

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