Monomorphismes, épimorphismes, isomorphismes

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1. Monomorphismes

Dans le cadre de l'algèbre générale ou de l'algèbre universelle, un monomorphisme est simplement un homomorphisme injectif. Dans le cadre plus général de la théorie des catégories, un monomorphisme (aussi appelé mono) est un morphisme simplifiable à gauche[ad code=1 align=center]

2. Epimorphismes

épimorphisme d'une catégorie : Une flèche f:A\rightarrow\; B est dite un épimorphisme lorsqu'elle vérifie la propriété suivante : pour tout couple g,h de flèches B\rightarrow\; E (et donc aussi pour tout E), si g\circ f=h\circ f, alors g=h. Les notions de monomorphisme et d'épimorphisme sont duales l'une de l'autre : une flèche est un monomorphisme si et seulement si elle est un épimorphisme dans la catégorie dualeLes monomorphismes sont la généralisation aux catégories des fonctions injectives ; dans certaines catégories, les deux notions coïncident d'ailleurs. Mais les monomorphismes restent des objets plus généraux (voir l'exemple ci-dessous). Le dual d'un monomorphisme est un épimorphisme (c'est-à-dire qu'un monomorphisme dans la catégorie C est un épimorphisme dans la catégorie duale Cop).

3. Isomorphismes

Les isomorphismes dans la catégorie des ensembles ordonnés sont les bijections croissantes dont la bijection réciproque est croissante (cette condition sur la bijection réciproque est automatiquement vérifiée dans le cas des ensembles totalement ordonnés, mais pas dans le cas général).

 

Younes Derfoufi
CRMEF OUJDA

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