Ensembles Flous

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1 - Généralités

Ensembles flous Généralités <definition/>Soit X un ensemble non vide. Un sous ensemble flou A de X est définit par une application d'appartenance : f_{A}:X→[O,1] (f_{A}(x) est interprété comme etant le degré d'appartenance de l'élément x à A ) <definition/>Pour tout sous ensemble flou A de X on définit les notions suivantes : - Support de A : supp(A)={x∈X/f_{A}(x)≠0} - hauteur de A : h(A)=sup{f_{A}(x)} , A est dit normalisé si h(A)=1 - noyau de A : noy(A)={x∈X/f_{A}(x)=1} - cardinal de A : |A|=∑_{x∈X}f_{A}(x) <definition/>Soient A et B deux sous ensembles de Fuzzy de X 1)- On dit que A⊆B si f_{A}(x)≤f_{B}(x) pour tout x∈X 2)- La réunion de A et de B est le sous ensemble de Fuzzy A∪B caractérisé par son application caractéristique : f_{A∪B}(x)=max(f_{A}(x),f_{B}(x)). 3)- L'intersection de A et de B est le sous ensemble de Fuzzy A∩B caractérisé par son application caractéristique : f_{A∩B}(x)=min(f_{A}(x),f_{B}(x)). 4)- Le complémentaire de du sous ensemble de Fuzzy A est définit par son application caractéristique : f_{A}(x)=1-f_{A}(x) <proposition/>Comme e théorie des ensembles classiques, on vérifie que : - ∩ et ∪ sont associatives, commutatives, distributives l'une par rapport à l'autre. - A∪∅=A et A∪X=X - A∩X=A et A∩∅=∅ - A∩B⊂A⊂A∪B - |A|+|B|=|A∩B|+|A∪B| <definition/>Le sous ensemble de Fuzzy vide de X est caractérisé par l'application f_{∅}(x)=0 ∀x∈X . <definition/>Le plus grang sous ensemble de Fuzzy de X nomé aussi le sous ensemble de Fuzzy Universel de X noté 1_{X} définit par : 1_{X}(x)=1 pour tout x de X. <proposition/>- (A∩B)^{C}=A^{C}∪B^{C} - (A∪B)^{C}=A^{C}∩B^{C} -((A)^{C})^{C}=A - |A|+|A^{C}|=|X| <remark/>Les relations A∪A=X et A∩A=∅ ne restent plus valables dans la théorie des ensembles de Fuzzy.

Le sous ensemble de Fuzzy vide de X est caractérisé par l'application f_{∅}(x)=0 ∀x∈X . <definition/>Le plus grang sous ensemble de Fuzzy de X nomé aussi le sous ensemble de Fuzzy Universel de X noté 1_{X} définit par : 1_{X}(x)=1 pour tout x de X. <proposition/>- (A∩B)^{C}=A^{C}∪B^{C} - (A∪B)^{C}=A^{C}∩B^{C} -((A)^{C})^{C}=A - |A|+|A^{C}|=|X| <remark/>Les relations A∪A=X et A∩A=∅ ne restent plus valables dans la théorie des ensembles de Fuzzy.

 

2 - Les alpha coupes

Les α-coupes Soit A un sous ensemble flou <definition/>Pour tout α∈[0,1] on définit le sous ensemble A_{α} de A nomé α-coupes par : A_{α}={x∈X/f_{A}(x)≥α}(α est dit seuil d'appartenance ) <proposition/>Les α-coupe vérifient : - (A∪B)_{α}=A_{α}∪B_{α} - (A∩B)_{α}=A_{α}∩B_{α} - A⊂B⇒A_{α}⊂B_{α} - A₁=noy(A) - A₀=X

 

3 - Normes et conormes triangulaires

Normes et co-normes triangulaires <definition/>Une norme triangulaire (t-norme) est une application : T:[0,1]×[0,1]→[0,1] telle que : i) T(x,y)=T(y,x) (commutativité) ii) T(T(x,y),z)=T(x,Ty,z)) (associativité) iii) (x≤z et y≤t)⇒T(x,y)≤T(z,t) (monotonie) iv) T(x,1)=x (1 est élément neutre) <example/>T=min est une t-normes <remark/>Toute t-norme T définie un opérateur d'intersection : pour tous sous ensembles flous A et B on consdère le sous ensemble flou A∩_{T}B caractérisé par : f_{A∩_{T}B}(x)=T(f_{A}(x),f_{B}(x))

Une conorme triangulaire ( t-conorme ) est une application : ⊥:[0,1]×[0,1]→[0,1] telle que : i) ⊥(x,y)=⊥(y,x) (commutativité) ii) ⊥(⊥(x,y),z)=⊥(x,⊥(y,z)) (associativité) iii) (x≤z et y≤t)⇒⊥(x,y)≤⊥(z,t) (monotonie) iv) ⊥(x,0)=x (0 est élément neutre) <example/>L'opérateur max satisfait ces propriétés <proposition/>On peut passer d'une t-norme à une t-conorme et vice versa en posant : (x,y)=1-(1-x,1-y)

 

 

Younes Derfoufi
CRMEF OUJDA

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